 \input{../preambules/preCorrection.tex}


\begin{document}

\chead{Correction Feuille Exercice 24}
\lfoot{}
\cfoot{Variables aléatoires à densité.}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction Feuille Exercice 24}
\end{center}
\vspace{30pt}

\setcounter{theorem}{19}

%\vspace{200pt}
%%% Exercices d'approfondissement
\renewcommand\bcStyleTitre[1]{\hspace{10pt}\itshape \Large \color{black} #1}
\setlength{\logowidth}{13pt}
\begin{bclogo}[couleur=white,couleurBord=white,arrondi=0.2, logo = \bcplume]{Montrer qu'on a une fonction de répartition}
\end{bclogo} 
\vspace{-13pt}

\begin{exo}
Les fonctions suivantes sont elle des fonctions de répartition d'une variable aléatoire à densité. Le cas échéant, déterminer une densité associée.
$$
F_1(x) = \begin{cases}
e^x & \text{si} \; x <0 \\
1 & \text{sinon}
\end{cases}
\qquad 
F_2(x) = \begin{cases}
\dfrac{x-1}{x+1} & \text{si} \; x >1 \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}
\item La fonction $x \to e^x $ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]- \infty, 0[$ et la fonction $x \to 1$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $] 0 ; +\infty[$. \begin{center}
\fbox{Donc la fonction $F_1$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$ sauf éventuellement en $0$.}
\end{center}
De plus $\li_{x \toi 0} F_1 (x)  = \li_{x \toi 0} e^x  = 1$ et $ \li_{x \tos 0} F_1(x) = 1$. Donc la fonction $F_1$ est continue en $0$ et par conséquent
\begin{center}
 \fbox{La fonction $F_1$ est continue sur $\R$.}
 \end{center} 
 \item La fonction $F_1$ est croissante sur $]- \infty; 0[$ et sur $]0, + \infty[$. De plus la fonction $F_1$ est continue en $0$ (donc elle se raccorde en $0$). 
\begin{center}
\fbox{ La fonction $F_1$ est croissante sur $\R$. }
\end{center}
\item Enfin, on calcule les limites de $F_1$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. 
\begin{center}
 \fbox{$\li_{x \to - \infty} F_1 (x) = \li_{x \to - \infty} e^x  = 0$ et $\li_{x \to + \infty} F_1(x) = 1$.}
 \end{center} 
\end{enumerate}
La fonction $F_1$ est bien une Fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité. Une densité est obtenue en dérivant $F_1$ aux endroits où elle est dérivable. 

\begin{center}
\fbox{$f_1(x) = \begin{cases}
e^x & \text{si} \; x <0 \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}$}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La fonction $x \to \dfrac{x-1}{x+1} $ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]1, +\infty[$ et la fonction $x \to 0$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $] - \infty ; 1[$. \begin{center}
\fbox{Donc la fonction $F_2$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$ sauf éventuellement en $1$.}
\end{center}
De plus $\li_{x \tos 1 } F_2 (x)  = \li_{x \toi 1} \dfrac{x-1}{x+1}  = 0$ et $ \li_{x \tos 1} F_2(x) = 0$. Donc la fonction $F_2$ est continue en $1$ et par conséquent
\begin{center}
 \fbox{La fonction $F_2$ est continue sur $\R$.}
 \end{center} 
 \item La fonction $F_2$ est croissante sur $]- \infty; 1[$. Sur $]1, + \infty[$, $F_2'(x) = \dfrac{x+1 - (x-1)}{(x+1)^2} = \dfrac{2}{(x+1)^2} > 0$. La fonction $F_2$ est donc croissante sur $]1, + \infty[$.  De plus la fonction $F_2$ est continue en $1$ (donc elle se raccorde en $1$). 
\begin{center}
\fbox{ La fonction $F_2$ est croissante sur $\R$. }
\end{center}
\item Enfin, on calcule les limites de $F_2$ en $- \infty$ et en $+ \infty$. 
\begin{center}
 \fbox{$\li_{x \to - \infty} F_2 (x) = 0$ et $\li_{x \to + \infty} F_2(x) = \li_{x \to + \infty} \dfrac{x-1}{x+1} =  1$.}
 \end{center} 
\end{enumerate}
La fonction $F_2$ est bien une Fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité. Une densité est obtenue en dérivant $F_2$ aux endroits où elle est dérivable. 

\begin{center}
\fbox{$f_2(x) = \begin{cases}
\dfrac{2}{(x+1)^2} & \text{si} \; x > 1 \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}$}
\end{center}
\end{exo}

\renewcommand\bcStyleTitre[1]{\hspace{10pt}\itshape \Large \color{black} #1}
\setlength{\logowidth}{13pt}
\begin{bclogo}[couleur=white,couleurBord=white,arrondi=0.2, logo = \bcplume]{Montrer qu'on a une densité de probabilité}
\end{bclogo} 
\label{Montrer qu'on a une densité de probabilité}
\vspace{-13pt}

\begin{exo}
Montrer que la fonction $f$ suivante est une densité de probabilité. :
$$ \forall x \in \R, \quad f(x) = \begin{cases}
\frac{3}{8}x^2  & \text{si} \; x \in [0,2] \\
0 & \text{sinon} 
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x \in [0,2]$, $\dfrac{3}{8}x^2 \geq 0$. La fonction $f$ est donc positive sur $\R$. 
\item La fonction $x \to 3/8 x^2 $ est continue sur $[0,2]$ et $x \to 0$ est continue sur $]- \infty ,0[$, et sur $]2, + \infty[$. La fonction $f$ est donc continue sur $\R$ sauf éventuellement en $0$ et en $2$. 
\item Les intégrales $\ds \int_{- \infty}^0 f(x) dx$ et $\ds \int_2^{ + \infty} f(x) dx$ sont trivialement convergentes et valent $0$. La fonction $f$ est continue sur $[0,2]$. On peut donc calculer son intégrale.
\begin{align*}
\int_0^2 f(x) dx & = \int_0^2 \dfrac{3}{8}x^2 dx \\
& = \left[ \dfrac{3}{8} \times \dfrac{x^3}{3} \right]_0^2 \\
& = \dfrac{2^3}{8} - 0
\end{align*}
C'est à dire que 
$$
\int_0^2 f(x) dx = 1 
$$
\end{enumerate}
\begin{center}
\fbox{La fonction $f$ est une densité de probabilité.}
\end{center}
\end{exo}


\begin{exo}
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x \in \R$, $\dfrac{1}{1+ |x|} \geq 0$. La fonction $f$ est donc positive sur $\R$. 
\item La fonction $x \to \dfrac{1}{1+ |x|} $ est continue sur $\R$.
\item Soit $X > 0$, on calcule $\int_0^X \dfrac{1}{1+ |x|} dx$. 
\begin{align*}
\int_0^X \dfrac{1}{1+ |x|} dx &= [ \ln(1+|x|) ]_0^X \\
& = \ln(1+X) - 0
\end{align*}
Or $\li_{X \to + \infty} \int_0^X f(x) dx = + \infty$ 
\end{enumerate}
\begin{center}
\fbox{La fonction $f$ n'est pas une densité de probabilité.}
\end{center}
\end{exo}

\begin{exo}
La fonction $f$ définie par $
f(x) = \begin{cases}
1+x & \text{si} \; x \in [-1;0] \\
1-x & \text{si} \; x \in ]0;1] \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}
$
est-elle une densité de probabilité ? 
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x \in [-1;0]$, $1+x \geq 0$. Pour tout $x \in ]0;1]$, $1-x \geq 0$. La fonction $f$ est donc positive sur $\R$. 
\item La fonction $x \to 1+x $ est continue sur $[-1;0]$. La fonction $x \to 1 - x $ est continue sur $]0;1]$. La fonction $x \to 0$ est continue sur $]- \infty , -1[$ et sur $]1,+\infty[$. \\

La fonction $f$ est continue sur $\R$ sauf éventuellement en $-1$, $0$ et $1$. 
\item On a de façon triviale, $\ds \int_{- \infty}^{-1} f(x) = 0$ et $\ds \int_{1}^{+ \infty} f(x) = 0$. La fonction $x \to 1+x$ est continue sur $[-1;0]$ et la fonction $x \to 1-x$ est continue sur $[0;1]$. Leurs intégrales existent et donc
$$
\int_{-1}^0 f(x) dx = \int_{-1}^0 1+x dx = \left[ x + \dfrac{x^2}{2} \right]_{-1}^0
 = 0 - (-1 + 1/2) = 1/2 , $$
 d'une part et d'autre part
 $$
\int_{0}^1 f(x) dx = \int_{0}^1 1-x dx = \left[ x - \dfrac{x^2}{2} \right]_{0}^1
 = 1 - 1/2 - 0 = 1/2$$
 Ainsi $\ds \int_{- \infty}^{+ \infty} f(x) dx$ est convergente et
 $$
 \int_{- \infty}^{+ \infty} f(x) dx = 1
 $$
\end{enumerate}
\begin{center}
\fbox{La fonction $f$ est une densité de probabilité.}
\end{center}
\end{exo}

\renewcommand\bcStyleTitre[1]{\hspace{10pt}\itshape \Large \color{black} #1}
\setlength{\logowidth}{13pt}
\begin{bclogo}[couleur=white,couleurBord=white,arrondi=0.2, logo = \bcplume]{Calculer, si elle existe une espérance}
\end{bclogo} 
\vspace{-13pt}

\begin{exo}
La fonction $x \to \dfrac{3}{8}x^3$ est continue sur $[0;2]$ donc l'intégrale $ \int_0^2 \dfrac{3}{8}x^3 dx$ est absolument convergente. Par extension, l'intégrale $\int_{- \infty}^{+ \infty} x f(x) dx$ est absolument convergente. La variable aléatoire $X$ admet donc une espérance et 
\begin{align*}
E(x)& = \int_{- \infty}^{+ \infty} xf(x) dx \\
& = \int_0^2 \dfrac{3}{8} x^3 dx \\
& = \left[ \dfrac{3}{8\times 4} x^4 \right]_0^2 
\end{align*}
On a donc 
\begin{center}
\fbox{$ E(X) = \dfrac{3}{2}$.}
\end{center}
\end{exo}

\begin{exo}
L'intégrale $\ds \int_{-\infty}^1 xf(x)dx$ est absolument convergente et vaut $0$. On étudie maintenant 
$$\ds \int_{1}^{+\infty} \left| x \times \dfrac{\ln(x)}{x^2} \right|
dx = \int_{1}^{+\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} dx $$
La fonction $x \to \dfrac{\ln(x)}{x}$ est continue sur $[1, +\infty[$. Soit $y > 1$,
\begin{align*}
\int_1^y \dfrac{\ln(x)}{x} & = \left[ \dfrac{\ln(x)^2}{2} \right]_1^y \\
& = \dfrac{\ln(y)^2}{2} \underset{y \to +\infty}{\longrightarrow} + \infty
\end{align*}
L'intégrale impropre n'est pas convergente. 
\begin{center}
\fbox{La variable aléatoire à densité $X$ n'admet donc pas d'espérance. }
\end{center}
\end{exo}

\begin{exo}
On étudie 
$$
 \int_{-\infty}^0 |xf(x)| dx = - \int_{-\infty}^0 x f(x) dx = - \int_{- \infty}^0 x e^{2x} dx
$$ 
La fonction $x \to xe^{2x}$ est continue sur $]- \infty ; 0]$. Soit $y <0$, par une intégration par partie, on calcule
\begin{align*}
\int_y^0 xe^{2x}dx & = \left[ \dfrac{x}{2}e^{2x} \right]_y^0 - \int_y^0 \dfrac{e^{2x}}{2} dx \\
& = - \dfrac{y}{2}e^{2y} - \dfrac{1}{4} [e^{2x}]_y^0 \\
& =  - \dfrac{y}{2}e^{2y} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{e^{2y}}{4}
\end{align*}
Or $\li_{y \to - \infty} - y e^{2y} = 0$ par croissance comparée. 
L'intégrale $\ds \int_{-\infty}^0 x f(x) dx$ est absolument convergente et 
$$
\int_{- \infty}^0 xf(x)dx = - \dfrac{1}{4}
$$
 On étudie maintenant 
$$\ds \int_{0}^{+\infty} \left| x \times f(x) \right|
dx = \int_{0}^{+\infty} x e^{-2x} dx $$
La fonction $x \to x f(x)$ étant impaire, l'intégrale impropre $\ds \int_{0}^{+\infty} x e^{-2x} dx$ est convergente et 
$$
\int_{0}^{+\infty} x e^{-2x} dx = - \int_{- \infty}^0 xf(x)dx =  \dfrac{1}{4}
$$ 
\begin{center}
\fbox{La variable aléatoire à densité $X$ admet donc une espérance et $E(X) = 0$. }
\end{center}
\end{exo}

\vspace{50pt}
\renewcommand\bcStyleTitre[1]{\hspace{10pt}\itshape \Large \color{black} #1}
\setlength{\logowidth}{13pt}
\begin{bclogo}[couleur=white,couleurBord=white,arrondi=0.2, logo = \bcplume]{Déterminer la loi d'une transformée affine}
\end{bclogo} 
\vspace{-13pt}

\begin{exo}[Transformation affine - A connaitre]
Soit $y \in \R$, on calcule
\begin{align*}
F_Y (y) & = P(Y \leq y) \\ 
& = P(a + (b-a)X \leq y) \\
& = P \left( X \leq \dfrac{y-a}{b-a} \right)  
\end{align*}
On pose $x = \dfrac{y-a}{b-a}$. Il y a alors 3 cas :
\begin{itemize}
\item Si $y < a$ alors $x < 0$ et $P(X \leq x) = 0$ donc 
$$
F_Y (y) = 0
$$
\item Si $y \in [a,b]$ alors $x \in [0,1]$ et donc 
$$
F_Y(y) = F_X (x) = \dfrac{y-a}{b-a}
$$
\item Si $y > b$ alors $x > 1$ et $P(X \leq x) = 1$ donc 
$$
F_Y (y) = 1
$$
\end{itemize}
\end{exo}

\begin{exo}[Transformation affine]
Soit $y \in \R$, on calcule 
\begin{align*}
F_Y(y) & = P(Y \leq y) \\
& = P \left( \dfrac{1}{\lambda} X \leq y \right) \\
& = P \left(  X \leq \lambda y \right) \\
& = F_X (\lambda y) 
\end{align*}
Or $$
F_X(x) = \begin{cases}
e^{-x} \quad \text{si} \quad  x \geq 0 \\
0 \quad \text{sinon}
\end{cases}
$$
On sait que $\lambda y \geq 0 \Longleftrightarrow y \geq 0$. Ainsi, 
$$
F_Y(y) = \begin{cases}
e^{-\lambda y} \quad \text{si} \quad  y \geq 0 \\
0 \quad \text{sinon}
\end{cases}
$$
\begin{center}
\fbox{Ainsi $Y$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. $Y \loi{E}(\lambda)$.}
\end{center}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $y \in \R$, on calcule
\begin{align*}
F_Y(y) & = P(Y \leq y) \\
& = P \left( - X \leq y \right) \\
& = P \left(  X \geq - y \right) \\
& = 1 - F_X(-y) 
\end{align*}
La fonction de répartition de la variable aléatoire $Y$ est continue (car $F_X$ est continue sur $\R$). C'est donc une variable aléatoire à densité dont on peut déterminer une densité par
$$
\forall y \in \R, \quad f_Y(y) = F_Y'(y) = F_X'( -y) = f_X(-y)
$$
Ainsi une densité est 
\begin{center}
\fbox{$\forall y \in \R, \quad  f_Y(y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{- \frac{(-y)^2}{2}} =  \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{- \frac{y^2}{2}}$}
\end{center}
La variable aléatoire $Y$ suit une loi normale centrée réduite.
\end{exo}

\begin{exo}[Loi uniforme et binomiale]
Soient $X_0,\dots,X_n$ des variables aléatoires suivant une loi uniforme sur $[0,1]$, indépendantes.
\begin{enumerate}
\item Pour $x \in \R$, on calcule 
\begin{align*}
F_{U_k} (x) & = P(U_k \leq x) \\
& = P( \min(X_0, \ldots X_k) \leq x ) \\
& = P ((X_0 \leq x) \cap \ldots \cap (X_k \leq x)) \\
& = \prod_{j = 0}^k P(X_j \leq x) 
\end{align*}
 On peut décomposer le problème en 3. 
\begin{itemize}
\item Si $x \leq 0$. Alors $F_{U_k} (x) = 0$.
\item Si $x \in [0,1]$. Alors 
\begin{align*}
F_{U_k}(x) & = \prod_{j = 0}^k F_{X_j}( x) \\
& = \prod_{j = 0}^k x = x^{k+1}
\end{align*}
\item Si $x > 1$. Alors $F_{U_k} (x) = 1$.
\end{itemize}
La fonction de répartition de la variable aléatoire $U_k$ est continue sur $\R$. La VA admet donc la densité suivante
$$
f_{u_k}(x) = \begin{cases}
(k+1)x^k & \quad \text{si} \quad x \in [0,1] \\
\quad 0 & \quad \text{sinon}
\end{cases}
$$
\item Sachant que $N =k$, la variable aléatoire $U$ est la même que $U_k$ donc 
$$
P_{N = k} (U \leq x)  = \begin{cases}
0 & \quad \text{si} \quad x \leq 0 \\
x^{k+1} & \quad \text{si} \quad x \in [0,1] \\
1 & \quad \text{sinon}
\end{cases}
$$
En utilisant la formule des probabilités totales sur le système complet d'évènement $(N=k)_{k \in \entier{0,n}}$. 
\begin{align*}
\forall x \in \R, \quad P(U \leq x) & = \sum_{k=0}^n P(N =k) P_{N=k} (U \leq x) \\
& = \sum_{k=0}^n \vect{n}{k}{} \left( \dfrac{1}{2} \right)^n P_{N=k} (U \leq x)
\end{align*}
\begin{itemize}
\item Si $x \leq 0$, $P(U \leq x) = 0$.
\item Si $x \in [0,1]$, on calcule 
\begin{align*}
P(U \leq x) & = \sum_{k=0}^n \vect{n}{k}{} \left( \dfrac{1}{2} \right)^n x^{k+1} \\
& = x \sum_{k=0}^n \vect{n}{k}{} \left( \dfrac{x}{2} \right)^k \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-k} \\
& = x \left( \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2} \right)^n
\end{align*}
\item Si $x > 1$, $P(U \leq x) = 1$.  
\end{itemize}
On a déterminé la fonction de répartition de la variable aléatoire $U$. Cette Fonction étant continue (à vérifier !!), la variable aléatoire $U$ est une VA à densité. La densité associé est 
$$
\forall x \in \R, \quad f_U(x) = \begin{cases}
\left( \dfrac{x+1}{2} \right)^n + n x \left( \dfrac{x+1}{2} \right)^{n-1} & \quad \text{si} \quad x \in[0,1] \\
0 & \quad \text{sinon}
\end{cases}
$$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[Loi uniforme et loi exponentielle]
Soit $X \loi{U}([0;1])$. Soit $x \in \R$, on calcule
\begin{align*}
F_T(x) = P (T \leq x)& = P \left(-\dfrac{1}{\lambda} \ln(1 - X) \leq x \right) \\
& = P \left(\ln(1 - X) \geq - \lambda x \right)  \\
& = P \left(1 - X \geq e^{- \lambda x} \right) \\
& = P \left(1 - e^{- \lambda x} - X \geq 0 \right) \\
& = P \left(X \leq 1 - e^{- \lambda x} \right) \\
& = F_X \left( 1 - e^{- \lambda x} \right)
\end{align*}

On résout l'équation 
\begin{align*}
1 - e^{- \lambda x} > 0 & \Longleftrightarrow 1 > e^{- \lambda x} \\
& \Longleftrightarrow 0 > - \lambda x \\
& \Longleftrightarrow x > 0
\end{align*}
De plus on a pour tout $x \in \R$, $1 - e^{- \lambda x}  \leq 1$. Donc 
$$
F_X(x) = \begin{cases}
1 - e^{-\lambda x} & \quad \text{si} \quad x > 0 \\
0 & \quad \text{sinon}
\end{cases}
$$
La VA $X$ suit donc une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
\begin{center}
 \fbox{$X \loi{E}( \lambda)$.}
 \end{center} 
 On écrit un programme scilab simulant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$
 \begin{verbatim}
function Y = expo(lambda)
    X = rand()
    Y = (-1/ lambda)* log(1 - X)
endfunction
 \end{verbatim}
\end{exo}

\begin{exo}[Loi exponentielle]
Soit $y \in \R$, on calcule
\begin{align*}
F_Y(y) & = P( Y \leq y) \\
& = P( e^{-X} \leq y ) 
\end{align*}
\begin{itemize}
\item {\bf Premier cas :} $y \leq 0$. Dans ce cas, $e^{-X} \leq Y$ est un évènement impossible donc 
$$
F_Y(y) = 0
$$
\item {\bf Second cas :} $y >0$. Dans ce cas,
\begin{align*}
F_Y(y) & = P( e^{-X} \leq y ) \\
& = P(-X \leq \ln(y)) \\
& = P(X \geq - \ln(y)) \\
& = 1 - P(X \leq - \ln(y) ) \\
& = 1 - F_X(-\ln(y))
\end{align*}
On a alors deux nouveaux cas :
\item On considère $- \ln(y) \geq 0 \Longleftrightarrow y \in [0,1]$. Dans ce cas,
$$
F_Y(y) = 1 - (1 - e^{-(- \ln(y))} ) = y
$$
\item Enfin, on considère $- \ln(y) < 0 \Longleftrightarrow y > 1$. Dans ce cas,
$$
F_Y(y) = 1 - 0 = 1
$$
\end{itemize}
On récapitule les résultats:
$$
F_Y(y)  = \begin{cases}
0 & \quad \text{si} \quad y < 0 \\
y & \quad \text{si} \quad y \in [0,1] \\
1 & \quad \text{sinon}
\end{cases}
$$
\begin{center}
\fbox{La variable aléatoire $Y$ suit une loi uniforme sur $[0,1]$. $Y \loi{U}([0,1])$.}
\end{center}
\end{exo}

\renewcommand\bcStyleTitre[1]{\hspace{10pt}\itshape \Large \color{black} #1}
\setlength{\logowidth}{13pt}
\begin{bclogo}[couleur=white,couleurBord=white,arrondi=0.2, logo = \bcplume]{Utiliser la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite}
\end{bclogo} 
\vspace{-13pt}

\begin{exo}
Soit $X \loi{N}(0,1)$ et $Y = e^X$. Soit $y \in \R$, on calcule
\begin{align*}
F_Y(y) & = P(Y \leq y) \\
& = P(e^X \leq y) 
\end{align*}
Il y a alors 2 cas :
\begin{itemize}
\item Si $y \leq 0$ alors $F_Y(y) = 0$.
\item Si $y > 0$, alors 
\begin{align*}
F_Y(y) & = P(e^X \leq y) \\
& = P(X \leq \ln(y)) \\
& = \Phi (\ln(y))
\end{align*}
\end{itemize}
En conclusion 
$$
F_Y(y) = \begin{cases}
0 & \quad \text{si} \quad y \leq 0 \\
\Phi(\ln(y)) & \quad \text{sinon}
\end{cases}
$$
Pour déterminer la densité de $Y$, on dérive la fonction de répartition trouvée précédemment. Or si $y > 0$, 
$$
f_Y(y) = F_Y'(y) = \dfrac{1}{y} \Phi'(\ln(y)) = \dfrac{1}{y \sqrt{2\pi} } \times e^{- \frac{\ln(y)^2}{2}}
$$
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $X \loi{N}(0,1)$ et $Y = X^2$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction de répartition de $Y$ est donnée par 
$$
\forall x \in \R, \; F_Y(x) = \begin{cases} 
2 \Phi(\sqrt{x}) - 1 & \text{si} \; x \geq 0 \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}
$$
\item On cherche la fonction de répartition de $Y$. Soit $x \in \R$, 
\begin{align*}
F_Y(x) & = P(Y \leq x) \\
& = P(X^2 \leq x)
\end{align*} 
Il y a alors 2 cas :
\begin{itemize}
\item Si $x \leq 0$ alors $F_Y(x) = 0$.
\item Si $x > 0$, alors 
\begin{align*}
F_Y(x) & = P(\sqrt{X^2} \leq \sqrt{x}) \\
& = P(|X| \leq \sqrt{x}) \\
& = P(-\sqrt{x} \leq X \leq \sqrt{x}) \\
& = 2\Phi (\sqrt{x}) - 1
\end{align*}
\end{itemize}
En conclusion 
$$
\forall x \in \R, \; F_Y(x) = \begin{cases} 
2 \Phi(\sqrt{x}) - 1 & \text{si} \; x \geq 0 \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}
$$
On vérifie que la fonction de répartition est continue. 
$$
\li_{x \toi 0} F_Y(x) = 0 \qquad \li_{x \tos 0} F_Y(x) = 2 \Phi(0) - 1 = 2 \times \dfrac{1}{2} - 1 = 0
$$
La fonction $F_Y$ est bien continue en 0. Elle est également continue sur $]- \infty, 0[$ (fonction nulle) et sur $]0,+\infty[$ en tant que composée et somme de fonctions continues. Donc

\begin{center}
\fbox{$Y$ est bien une variable aléatoire à densité.}
\end{center}

Pour déterminer la densité de $Y$, on dérive la fonction de répartition trouvée précédemment. Or si $x > 0$, 
$$
f_Y(x) = F_Y'(x) = \dfrac{2}{2 \sqrt{x}} \Phi'(\sqrt{x}) = \dfrac{1}{ \sqrt{2\pi x} } \times e^{- \frac{(\sqrt{x}^2}{2}}
$$
ou encore
\begin{center}
\fbox{$
\forall x \in \R, \; f_Y(x) = \begin{cases} 
\dfrac{1}{ \sqrt{2\pi x} } e^{-x/2} & \text{si} \; x \geq 0 \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}
$}
\end{center}
\end{enumerate} 
\end{exo}
\newpage
%%% Sujets de concours
\renewcommand\bcStyleTitre[1]{\hspace{10pt}\itshape \Large \color{black} #1}
\setlength{\logowidth}{13pt}
\begin{bclogo}[couleur=white,couleurBord=white,arrondi=0.2, logo = \bcplume]{ Sujets de concours}
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\vspace{-13pt}

\begin{exo}[D'après EML]
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par  $$
f (t) = \begin{cases}
\dfrac{1}{\alpha 3^t} & \text{si} \; t \geq 2 \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}
\item A quelle condition sur $\alpha$ a-t-on que $f$ est une densité d'une v.a. $X$ ?
\item Montrer que $X$ admet une espérance et la calculer.
\item On note $Y$ la variable aléatoire égale à la partie entière de $X$ :
$$
\forall k \geq 2, \; P(Y = k) = P(k \leq X < k+1).
$$
Donner la loi de $Y$. 
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[EML 1996]

\noindent Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : 
$
\left\{ 
\begin{array}{ll}
f(x)=e^{-|x|} & \text{si }-\ln 2\leq x\leq \ln 2 \\ 
f(x)=0 & \text{sinon}
\end{array}
\right. 
$

\begin{enumerate}
\item  Etudier les variations de $f$ et tracer sa repr\'{e}sentation graphique.

\item  Montrer que $f$ est une densit\'{e} de probabilit\'{e}.

\item  Soit $X$ une variable al\'{e}atoire r\'{e}elle admettant $f$ comme
densit\'{e}.

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer la fonction de r\'{e}partition $F$ de $X$.

\item  Montrer que $X$ admet une esp\'{e}rance et calculer l'esp\'{e}rance
de $X$.

\item  On pose $Y=|X|$.\newline
D\'{e}terminer la fonction de r\'{e}partition $G$ de $Y$. Montrer que $Y$
est une variable \`{a} densit\'{e} et d\'{e}terminer une densit\'{e} $g$ de $%
Y$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}[ECRICOME 2008]

On considère un jeu où le participant lance trois fl\'{e}chettes dans une
cible circulaire de centre O et de rayon 1. Pour $1\leq i\leq 3$, on note $%
X_{i}$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale \`{a} la distance du point
d'impact de centre O de la $i^{\grave{e}me}$ fl\'{e}chette. Ces trois
variables al\'{e}atoires $X_{1},X_{2},X_{3}$ de m\^{e}me loi, ind\'{e}%
pendantes, sont des variables \`{a} densit\'{e} dont une densit\'{e} $f$ est
d\'{e}finie par: 
\begin{equation*}
f(x)=\left \{ 
\begin{array}{ll}
2x\quad \text{si}\quad x\in \lbrack 0;1] &  \\ 
0\quad \text{sinon} & 
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
Le joueur gagne si la distance la plus proche du centre O se trouve \`{a}
une distance inf\'{e}rieure \`{a} $\dfrac{1}{5}$ de ce centre. Enfin, on
note $M$ la variable al\'{e}atoire repr\'{e}sentant la plus petite des trois
distances $X_{1},X_{2},X_{3}$.

\begin{enumerate}
\item V\'{e}rifier que $f$ est une densit\'{e} de probabilit\'{e} et d\'{e}%
terminer la fonction de r\'{e}partition $F$ de $X_i$.

\item D\'{e}terminer l'esp\'{e}rance de $X_i$.

\item Exprimer l'\'{e}v\'{e}nement $[M>t]$ \`{a} l'aide des \'{e}v\'{e}%
nements $[X_1>t], [X_2>t], [X_3>t]$ pour tout r\'{e}el $t$.

\item D\'{e}terminer la fonction de r\'{e}partition $F_M$ de $M$ et montrer
que $M$ est une variable \`{a} densit\'{e} et en donner une densit\'{e} not%
\'{e}e $f_M$.

\item Quelle est la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $G=$"le joueur
gagne la partie"?\newline
\end{enumerate}
\end{exo}

\end{document}
